Soit a un nombre réel et f une fonction définie
dans un voisinage de a . On appelle développemement limité
de f à l'ordre n au voisinage de a un polynôme
Pn de degrés inférieur ou égal à
n tel que :
Avec les notations de Landau :

Propriétés :
- f admet un développement limité à l'ordre
n au voisinage de a si et seulement si la fonction g définie
par g(h) = f(a + h) admet un développement limité
au voisinage de 0.
- Si f admet un développement limité en 0 alors
ce développement est unique.
- Le polynôme Pn(x) est appelé partie régulière
du developpement limité
- L'expression (x - a)n
(x)
est appelée terme complémentaire du developpement limité.
- Si f est une fonction paire
admettant un développement limité au voisinage de 0 alors
ce développement limité ne contient que les puissances
paires de la variable.
- Si f est une fonction impaire
admettant un développement limité au voisinage de 0 alors
ce développement limité ne contient que les puissances
impaires de la variable
Recherche d'un développement limité à l'ordre
n : Formule de Taylor Young
Soit a un réel , f une fonction numérique
possédant une dérivée n-ième f(n)(a)
ce qui entraîne que f admet n-1 dérivées
continues au voisinage de a,
alors pour tout réel h tel que a + h appartient à
l'ensemble de définition de
la fonction f on a :

Quelques développements limités au voisinage de 0 ( programme
BTS )
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